Question

（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面， ，點是的中點，點在邊上移動．

（Ⅰ）若為中點，求證：//平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，試判斷點在邊上的位置，并說明理由.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析；（3）點F為邊BC上靠近B點的三等分點.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直、二面角、向量法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力.第一問，在中，E、F分別是BP、BC中點，利用中位線的性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行的判定得出結(jié)論；第二問，由正方形ABCD得出，利用面面垂直的性質(zhì)，得平面PAB，利用線面垂直的性質(zhì)，得，再從中證出，利用線面垂直的判定得平面PBC，所以AE垂直面PBC內(nèi)的線PF；第三問，利用已知的這些條件整理出AD、AB、AP兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，得出向量坐標(biāo)，分別求出平面AEF和平面ABF的法向量，利用夾角公式列出表達(dá)式，求出m，即得到BF的長，從而得到點F的位置.

試題解析：（1）在中，∵點E是PB中點，點F是BC中點，

∴，

又∵平面PAC，平面PAC，

∴平面PAC．

（2）∵底面ABCD是正方形，∴.

又∵側(cè)面PAB底面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，且平面ABCD，

∴平面PAB.

∵平面PAB，

∴，

由已知，點E是PB的中點，

∴，

又∵，

∴平面PBC.

∵平面PBC，

∴.

（3）點F為邊BC上靠近B點的三等分點.

∵，，

∴，

由（2）可知，平面PAB.

又，

∴平面PAB，即，

∴兩兩垂直.

分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

不妨設(shè)，則，.

∴，.

設(shè)平面AEF的一個法向量為，

∵，得，取，則，，得.

∵，，，

∴平面ABCD.

即平面ABF的一個法向量為.

∴，解得.

∵，

∴，即點F為邊BC上靠近B點的三等分點.

考點：線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直、二面角、向量法.