Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{-{3^x}+a}}{{{3^{x+1}}+b}}$．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，求滿(mǎn)足f（x）=3^x的x的取值；
（2）若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)存在t∈R，不等式f（t²-2t）＜f（2t²-k）有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)3^x+1=3•3^x，可將方程f（x）=3^x轉(zhuǎn)化為一元二次方程：3•（3^x）²+2•3^x-1=0，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)范圍可得${3^x}=\frac{1}{3}$，解得x=-1，
（2）先根據(jù)函數(shù)奇偶性確定a，b值：a=1，b=3，再利用單調(diào)性定義確定其單調(diào)性：在R上遞減．最后根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式f（t²-2t）＜f（2t²-k）為t²-2t＞2t²-k即t²+2t-k＜0在t∈R時(shí)有解，根據(jù)判別式大于零可得k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，當(dāng)a=b=1時(shí)，$\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+1}}={3^x}$，化簡(jiǎn)得3•（3^x）²+2•3^x-1=0
解得${3^x}=-1（舍）或{3^x}=\frac{1}{3}$，所以x=-1．
（2）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）+f（x）=0，
所以$\frac{{-{3^x}+a}}{{{3^{-x+1}}+b}}+\frac{{-{3^x}+a}}{{{3^{x+1}}+b}}=0$化簡(jiǎn)并變形得：（3a-b）（3^x+3^-x）+2ab-6=0
要使上式對(duì)任意的x成立，則3a-b=0且2ab-6=0解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}}\right.}\right.$，
因?yàn)閒（x）的定義域是R，所以$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\end{array}}\right.$舍去，
所以a=1，b=3，所以$f（x）=\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+3}}$，
①$f（x）=\frac{{-{3^x}+1}}{{{3^{x+1}}+3}}=\frac{1}{3}（{-1+\frac{2}{{{3^x}+1}}}）$
對(duì)任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有：$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{3}（{\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}}）=\frac{2}{3}（{\frac{{{3^{x_2}}-{3^{x_1}}}}{{（{{3^{x_1}}+1}）（{{3^{x_2}}+1}）}}}）$
因?yàn)閤₁＜x₂，所以${3^{x_2}}-{3^{x_1}}＞0$，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在R上遞減．因?yàn)閒（t²-2t）＜f（2t²-k），所以t²-2t＞2t²-k，
即t²+2t-k＜0在t∈R時(shí)有解
所以△=4+4t＞0，解得：t＞-1，
所以k的取值范圍為（-1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．