Question

設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，AC=BC=1，CD=

2

．
（1）AC與平面BCD所成角的大�。�
（2）二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）由已知得BD=

3

，OB=OC=OD=

3

2

，AO⊥平面BCD，AC與平面BCD所成角為∠ACO，由此能求出AC與平面BCD所成角的大小為30°．
（2）由已知得AO=

1

2

，AB=AC=1=BC，取BC中點(diǎn)E，則∠AEO是二面角A-BC-D的平面角，由此能求出二面角A-BC-D的正切值．

解答： 解：（1）如圖，∵Rt△BCD中，BC=1，CD=

2

，
∴BD=

1+2

=

3

，
∵O是Rt△BCD斜邊中點(diǎn)，
∴OB=OC=OD=

3

2

，
∵A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，
∴AO⊥平面BCD，
∴AC與平面BCD所成角為∠ACO，
∵cos∠ACO=

CO

AC

=

3

2

，
∴∠ACO=30°，
∴AC與平面BCD所成角的大小為30°．
（2）由（1）得AO=

1

2

，AB=AC=1=BC，
∴△ABC是正三角形
取BC中點(diǎn)E，則AE⊥BC，DE⊥BC，
AE=

3

2

，OE=

1

2

DC=

2

2

，
則∠AEO是二面角A-BC-D的平面角，
tan∠AEO=

AO

EO

=

1 2

2 2

=

2

2

．
∴二面角A-BC-D的正切值為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．