【題目】已知橢圓C:經(jīng)過定點,其左右集點分別為,且,過右焦且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圈交于P,Q兩點.
(1)求橢圓C的方程:
(2)若O為坐標(biāo)原點,在線段上是否存在點,使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)存在,m的取值范圍為
【解析】
(1)由橢圓的定義可求出a的值,再把點E的坐標(biāo)代入橢圓方程,即可求出b的值,從而得到橢圓C的方程;
(2)先設(shè)點P,Q的坐標(biāo)以直線l的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到P,Q橫坐標(biāo)的和與積,再利用菱形的對角線垂直得到向量數(shù)量為0,將坐標(biāo)代入后化簡得到m與k的關(guān)系式,可求出m的取值范圍.
解:(1)∵點E在橢圓上,且,
∴,,
又∵定點在橢圓上,∴,
∴,
∴橢圓C的方程為:;
(2)假設(shè)存在點滿足條件,設(shè),,直線l的方程為:,
聯(lián)立方程,消去y得:,
∴,,,
又,,,
∴,
由題意知.
,
∵,∴,
即,
則,
∴,
∴,
故存在點,使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形,m的取值范圍為.
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【題目】已知長為3的線段的兩端點,分別在軸和軸上移動,.
(1)求點的軌跡的方程.
(2)過作互相垂直的兩條直線分別與軌跡交于,和,,設(shè)中點為,中點為,試探究直線是否過定點?若是,求出該定點;若不是,說明理由.
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【題目】已知橢圓,過點且不過點的直線與橢圓交于,兩點,直線與直線交于點.
(Ⅰ)若垂直于軸,求直線的斜率;
(Ⅱ)試判斷直線與直線的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)設(shè)g(x)=log4,若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),的參數(shù)方程為:(為參數(shù)).
(1)化、的參數(shù)方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若直線的極坐標(biāo)方程為:,曲線上的點對應(yīng)的參數(shù),曲線上的點對應(yīng)的參數(shù),求的中點到直線的距離.
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【題目】已知橢圓的離心率為,直線,圓的方程為,直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等,橢圓的左頂點為,上頂點為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知經(jīng)過點且斜率為直線與橢圓有兩個不同的交點和,請問是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】新冠病毒是一種通過飛沫和接觸傳播的變異病毒,為篩查該病毒,有一種檢驗方式是檢驗血液樣本相關(guān)指標(biāo)是否為陽性,對于份血液樣本,有以下兩種檢驗方式:一是逐份檢驗,則需檢驗次.二是混合檢驗,將其中份血液樣本分別取樣混合在一起,若檢驗結(jié)果為陰性,那么這份血液全為陰性,因而檢驗一次就夠了;如果檢驗結(jié)果為陽性,為了明確這份血液究竟哪些為陽性,就需要對它們再逐份檢驗,此時份血液檢驗的次數(shù)總共為次.某定點醫(yī)院現(xiàn)取得4份血液樣本,考慮以下三種檢驗方案:方案一,逐個檢驗;方案二,平均分成兩組檢驗;方案三,四個樣本混在一起檢驗.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨立的,且每份樣本是陰性的概率為.
(Ⅰ)求把2份血液樣本混合檢驗結(jié)果為陽性的概率;
(Ⅱ)若檢驗次數(shù)的期望值越小,則方案越“優(yōu)”.方案一、二、三中哪個最“優(yōu)”?請說明理由.
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【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,點E在BD上,EA=EB=EC=ED,BDCD,△ACD為正三角形,點M,N分別在AE,CD上運動(不含端點),且AM=CN,則當(dāng)四面體C﹣EMN的體積取得最大值時,三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.
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【題目】已知拋物線和軸上的定點,過拋物線焦點作一條直線交于、兩點,連接并延長,交于、兩點.
(1)求證:直線過定點;
(2)求直線與直線最大夾角為,求.
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