(1)選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣A=
33
cd
,若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為
a1
=
1
1
,屬于特征值1的一個特征向量為
a2
=
3
-2
,求矩陣A.
(2)選修4-4:坐標與參數(shù)方程
以直角坐標系的原點為極點,x軸正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的極坐標方程為psin(θ-
π
3
)=6,圓C的參數(shù)方程為
x=10cosθ
y=10sinθ
,(θ為參數(shù)),求直線l被圓C截得的弦長.
(3)選修4-5:不等式選講
已知實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5試求a的最值.
分析:(1)依題意得
A
a1
=6
a1
A
a2
=
a2
,得到關(guān)于c,d的方程組,即可求得矩陣A;
(2)先將曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再利用圓的幾何性質(zhì),結(jié)合點到直線的距離公式即可求得直線l被圓截得的弦長.
(3)首先分析題目已知a2+2b2+3c2+6d2=5,可以考慮到柯西不等式的應(yīng)用,建立關(guān)于a的不等關(guān)系后,再根據(jù)不等式的解法即可.
解答:解:(1)依題意得
A
a1
=6
a1
A
a2
=
a2
,即
33
cd
1
1
=6
1
1
33
cd
3
-2
=
3
-2

所以
c+d=6
3c-2d=-2
解得
c=2
d=4
A=
33
24

(2)由ρsin(θ-
π
3
)=ρ(
1
2
sinθ-
3
2
cosθ)=6,∴y-
3
x=12

將圓的參數(shù)方程化為普通方程為x2+y2=10圓心為C(0,0),半徑為10.
∴點C到直線的距離為d=
12
3+1
=6
,
直線l被圓截得的弦長為2
10 2-6 2
=16

(3)由柯西不等式得,有(2b2+3c2+6d2)(
1
2
+
1
3
+
1
6
)≥(b+c+d)2

即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,由條件可得,5-a2≥(3-a)2
解得,1≤a≤2,代入b=1,c=
1
3
,d=
1
6
時,amax=2;b=1,c=
2
3
,d=
1
3
時,amin=1
點評:本題主要考查了二階矩陣、考查圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程的概念、直線與圓相交的性質(zhì)、不等式的證明問題,其中涉及到柯西不等式和基本不等式的應(yīng)用問題,有一定的技巧性,需要同學們對兩種不等式非常熟練,屬于中檔題目.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:江蘇省丹陽市08-09學年高二下學期期末測試(理) 題型:解答題

 (本題是選做題,滿分28分,請在下面四個題目中選兩個作答,每小題14分,多做按前兩題給分)

A.(選修4-1:幾何證明選講)

如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,PA是⊙O的切線,PBAC于點E,交⊙O于點D,若PEPA,PD=1,BD=8,求線段BC的長.

 

 

 

 

 

 

B.(選修4-2:矩陣與變換)

在直角坐標系中,已知橢圓,矩陣陣,求在矩陣作用下變換所得到的圖形的面積.

C.(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)

直線(為參數(shù),為常數(shù)且)被以原點為極點,軸的正半軸為極軸,方程為的曲線所截,求截得的弦長.

D.(選修4-5:不等式選講)

設(shè),求證:.

 

 

 

 

 

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