Question

存在實(shí)數(shù)x使不等式

7x-7

+

10-2x

≥|m+1|成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：特稱命題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題可先求出左邊的式子的最小值，再使得右邊小于左邊的最小值，解關(guān)于m的不等式，得到 m的取值范圍，即本題答案．

解答： 解：記f（x）=

7x-7

+

10-2x

，
∵存在實(shí)數(shù)x使不等式

7x-7

+

10-2x

≥|m+1|，
∴|m+1|≤[f（x）]_max．
∵(

x-1

)2+(

5-x

)2=4，
∴可設(shè)

x-1

=2cosα，

5-x

=2sinα，α∈[0，

π

2

]，
∴f（x）=

7

x-1

+

2

5-x

=2（

7

cosα+

2

sinα）=6(

7

3

cosα+

2

3

sinα)=6sin（α+θ），
其中sinθ=

7

3

，cosθ=

2

3

，θ∈(0，

π

2

)．
∵α∈[0，

π

2

]，
∴θ≤α+θ≤

π

2

+θ，
∴sin（α+θ）≤1，6sin（α+θ）≤6．
即f（x）≤6，[f（x）]_max=6．
∴|m+1|≤6，
∴-6≤m+1≤6，
∴-7≤m≤5．
故答案為：[-7，5]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是存在量詞和能成立問(wèn)題上，本題有一定的思維難度，屬于中檔題．