分析 (1)首先令n=1求出首項,然后根據(jù)遞推關系得到數(shù)列為等比數(shù)列,求出通項公式;
(2)由(1)得到數(shù)列{cn}的通項公式,并對它擴大,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.
解答 解:(1)當n=1時,a1=5S1+1,∴a1=−14,
又∵an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1,
∴an+1-an=5an+1,即an+1an=−14,
∴數(shù)列{an}是首項為a1=−14,公比為q=−14的等比數(shù)列,
∴an=(−14)n,bn=4+(−14)n1−(−14)n(n∈N∗)…(6分)
(2)由bn=4+5(−4)n−1得Cn=b2n−b2n−1(n∈N∗)=542n−1+542n−1+1=25×16n(16n−1)(16n+4)=25×16n(16n)2+3×16n−4<25×16n(16n)2=2516n,
又b1=3,b2=133,當n=1時,c1=43,T1<32,
當n≥2時,Tn<43+25×(1162+1163+…+116n)=43+25×1162[1−(116)n−2]1−116<43+25×11621516=6948<32
∴對任意正整數(shù)n都有Tn<32,…(12分)
點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式的求法以及放縮法證明與數(shù)量有關的不等式;屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{7}{9} | B. | \frac{1}{9} | C. | -\frac{7}{9} | D. | -\frac{1}{9} |
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A. | -\frac{1}{2} | B. | 0 | C. | -\frac{1}{2}或0 | D. | 0或7 |
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