Question

【題目】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且a +2an=4Sn（n∈N*）．
（1）求an；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：b1=1，bn= （n∈N* ， n≥2），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a12+2a1=4S1=4a1，

解得a1=2，

當(dāng)n＞1時(shí)，an﹣12+2an﹣1=4Sn﹣1，

又a +2an=4Sn（n∈N*）．

兩式相減可得，a ﹣an﹣12+2an﹣2an﹣1=4Sn﹣4Sn﹣1=4an，

即有（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）=2（an+an﹣1），

可得an﹣an﹣1=2，

則an=a1+2（n﹣1）=2n：

（2）解：b1=1，bn= = = （ ﹣ ），

前n項(xiàng)和Tn=1+ （ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）

=1+ （ + ﹣﹣ ﹣ ）

= ﹣ ．

【解析】（1）令n=1，求得首項(xiàng)為2；再由n＞1時(shí)，將n換為n﹣1，相減可得an﹣an﹣1=2，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求；（2）求得bn= = （ ﹣ ），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．