Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{mx}}（x≥0）\\ \frac{1}{m}ln（-x）（x＜0）\end{array}\right.$（其中m＞0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象為曲線M，若曲線M上存在關(guān)于直線x=0對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $m≥\frac{1}{e}$
• B． $0＜m≤\frac{1}{e}$
• C． $m≥\frac{1}{e^2}$
• D． $0＜m≤\frac{1}{e^2}$

Answer 1

分析 由題意可得方程$\frac{1}{m}lnx={e}^{mx}$有正根．由y=$\frac{1}{m}lnx$與y=e^mx互為反函數(shù)，則其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求其公切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}lne≥e}\\{{e}^{me}≤e}\end{array}\right.$求得m的范圍．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{mx}}（x≥0）\\ \frac{1}{m}ln（-x）（x＜0）\end{array}\right.$的圖象上存在關(guān)于直線x=0對(duì)稱的點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{m}ln（-x）$（x＜0）關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象與函數(shù)f（x）=e^mx（x≥0）的圖象有交點(diǎn)，
即方程$\frac{1}{m}lnx={e}^{mx}$有正根．
∵y=$\frac{1}{m}lnx$與y=e^mx互為反函數(shù)，則其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
設(shè)y=$\frac{1}{m}lnx$與y=e^mx的公切點(diǎn)為（x₀，x₀），
則$\frac{1}{m{x}_{0}}=m{e}^{m{x}_{0}}$，${e}^{m{x}_{0}}=\frac{1}{m}ln{x}_{0}$，聯(lián)立可得x₀=e．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}lne≥e}\\{{e}^{me}≤e}\end{array}\right.$，解得m$≤\frac{1}{e}$．
又m＞0，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是0＜m$≤\frac{1}{e}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，思維難度較大．