Question

20．已知a∈R，函數$f（x）=\frac{{{e^x}-a}}{x}-alnx$（e=2.71828…是自然對數的底數）．
（Ⅰ）函數f（x）是否存在極大值，若存在，求極大值點，若不存在，說明理由；
（Ⅱ）設$g（x）=\frac{e^x}{1+xlnx}$，證明：對任意x＞0，g（x）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$f'（x）=\frac{{{e^x}x-（{{e^x}-a}）}}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{1}{x^2}[{（{x-1}）（{{e^x}-a}）}]$，分以下四種情況討論：（1）a≤1，（2）1＜a＜e，（3）a=e，（4）a＞e；
（Ⅱ）要證$g（x）=\frac{e^x}{1+xlnx}＞1$，只要證明$\frac{e^x}{1+xlnx}-1＞0$成立，即證$\frac{{{e^x}-（{1+xlnx}）}}{1+xlnx}＞0$成立，令h（x）=1+xlnx，利用導數可得$h（x）≥h（{\frac{1}{e}}）=1+\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=1-\frac{1}{e}＞0$，只需證明e^x-（1+xlnx）＞0即可，變形得$lnx＜\frac{{{e^x}-1}}{x}⇒\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx＞0$，由（Ⅰ）可證明．

解答 解：（Ⅰ）由已知得，函數f（x）的定義域為（0，+∞），$f'（x）=\frac{{{e^x}x-（{{e^x}-a}）}}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{1}{x^2}[{（{x-1}）（{{e^x}-a}）}]$…（1分）
（1）若a≤1，則e^x＞a，
當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數，
所以當x=1時，f（x）取得極小值，函數無極大值；     …（2分）
（2）若1＜a＜e，令e^x=a，得x=lna∈（0，1），
所以f'（x）和f（x）在（0，+∞）上的變化情況如下表所示

x	（0，lna）	lna	（lna，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

所以當x=lna時，函數f（x）取得極大值；…（4分）
（3）當a=e時，f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函數，
此時不存在極值              …（5分）
（4）當a＞e時，令e^x=a，得x=lna∈（1，+∞），
所以f'（x）和f（x）在（0，+∞）上的變化情況如下表所示

x	（0，1）	1	（1，lna）	lna	（lna，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

所以當x=1時，函數f（x）取得極大值； …（7分）
綜上所述，當1＜a＜e時，函數f（x）的極大值點是x=lna；
當a＞e時，函數f（x）的極大值點是x=1；
當a≤1或a=e時，函數無極大值點．            …（8分）
（Ⅱ）要證$g（x）=\frac{e^x}{1+xlnx}＞1$，只要證明$\frac{e^x}{1+xlnx}-1＞0$成立，
即證$\frac{{{e^x}-（{1+xlnx}）}}{1+xlnx}＞0$成立，…（9分）
令h（x）=1+xlnx，則h'（x）=1+lnx，
當$x∈（{0，\frac{1}{e}}）$，h'（x）＜0，h（x）單調遞減；
當$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$，h'（x）＞0，h（x）單調遞增；
所以$h（x）≥h（{\frac{1}{e}}）=1+\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=1-\frac{1}{e}＞0$，…（10分）
所以只需證明e^x-（1+xlnx）＞0即可，變形得$lnx＜\frac{{{e^x}-1}}{x}⇒\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx＞0$，
由（Ⅰ）知，當a=1時，$f（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx$…（12分）$f（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx$在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
所以f（x）≥f（1）=e-1＞0，即e^x-（1+xlnx）＞0，
故對任意x＞0，g（x）＞1．     …（14分）

點評 本題考查了利用導數求函數極值、最值，考查了分類討論思想、轉化思想，屬于難題．