【題目】設函數 .若曲線在點處的切線方程為(為自然對數的底數).
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)若關于的不等式在(0,+)上恒成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1)單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是;(2)
【解析】試題分析:(1)由函數的解析式得其定義域為.. 因為曲線在點處的切線方程為,所以,,聯(lián)立可得解方程組可得. 所以, .分別解不等式與,可得單調遞減與遞增區(qū)間。(2)不等式恒成立即不等式恒成立,構造函數,因為,所以對任意,不等式恒成立.考慮函數的單調性。因為。當時,對任意恒成立,此時函數單調遞增.于是,不等式對任意恒成立,不符合題意;當函數為減函數時, ,即恒成立時,函數單調遞減,構造函數, 大于函數的最大值,求導數判斷單調性,對任意,所以,即,符合題意;當時,構造函數,二次求導,令得 ,因為,所以。所以當時, ,此時單調遞增,所以 ,故當時,函數單調遞增.于是當時, 成立,不符合題意;綜合上面三種情況可得所求。
試題解析:解:(1)函數的定義域為.
.
依題意得, ,即
所以.
所以, .
當時, ;當時, .
所以函數的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是.
(2)設函數,故對任意,不等式恒成立.
又,當,即恒成立時,
函數單調遞減,設,則,
所以,即,符合題意;
當時, 恒成立,此時函數單調遞增.
于是,不等式對任意恒成立,不符合題意;
當時,設,
則 ;
當時, ,此時單調遞增,
所以 ,
故當時,函數單調遞增.
于是當時, 成立,不符合題意;
綜上所述,實數的取值范圍為: .
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【題目】中國古代數學名著《九章算術》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應償還多少?已知牛、馬、羊的主人各應償還升, 升, 升,1斗為10升,則下列判斷正確的是( )
A. , , 依次成公比為2的等比數列,且
B. , , 依次成公比為2的等比數列,且
C. , , 依次成公比為的等比數列,且
D. , , 依次成公比為的等比數列,且
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【題目】已知圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R).
(1)求證:無論m取什么實數,直線l恒過第一象限;
(2)求直線l被圓C截得的弦長最短時m的值以及最短長度;
(3)設直線l與圓C相交于A、B兩點,求AB中點M的軌跡方程.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=BB1=1,B1C=2.
(1)求證:平面B1AC⊥平面ABB1A1;
(2)求直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值.
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【題目】已知圓心在軸上的圓與直線切于點.
(1)求圓的標準方程;
(2)已知,經過原點,且斜率為正數的直線與圓交于兩點.
(。┣笞C: 為定值;
(ⅱ)求的最大值.
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【題目】已知圓心為(1,1)的圓C經過點M(1,2).
(1)求圓C的方程;
(2)若直線x+y+m=0與圓C交于A、B兩點,且△ABC是直角三角形,求實數m.
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【題目】已知函數f(x)=ax2﹣4ax+b(a>0)在區(qū)間[0,1]上有最大值1和最小值﹣2.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)≥mx在x∈(0,+∞)上恒成立,求實數m的取值范圍.
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【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD,PA=2. (Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的余弦值.
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