Question

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)其中任何一向量X=（x₁，x₂），定義范數(shù)||X||，它滿足以下性質(zhì)：（1）||X||≥0，當(dāng)且僅當(dāng)X為零向量時(shí)，不等式取等號(hào)；（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此處點(diǎn)乘號(hào)為普通的乘號(hào)）；（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．應(yīng)用類比的方法，我們可以給出空間直角坐標(biāo)系下范數(shù)的定義，現(xiàn)有空間向量X=（x₁，x₂，x₃），下面給出的幾個(gè)表達(dá)式中，可能表示向量X的范數(shù)的是

 

（把所有正確答案的序號(hào)都填上）
（1）

x12

+2x₂²+x₃²（2）

2x2-x22+x32

 （3）

x12+x22+x32+2

  （4）

x12+x22+x32

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中關(guān)于向量范數(shù)的定義，及所滿足的性質(zhì)：（1）||X||≥0，當(dāng)且僅當(dāng)X為零向量時(shí)，不等式取等號(hào)；（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此處點(diǎn)乘號(hào)為普通的乘號(hào)）；（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．我們逐一分析題目中所給的4個(gè)表達(dá)式，判斷是否同時(shí)滿足所有性質(zhì)，即可得到答案．

解答：解：（1）

x12

+2x₂²+x₃²滿足||X||≥0，當(dāng)且僅當(dāng)X為零向量時(shí)，不等式取等號(hào)；
但不滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，||λX||=|λ|•||X||，故（1）不正確；
（2）

2x2-x22+x32

 滿足||X||≥0，當(dāng)且僅當(dāng)X為零向量時(shí)，不等式取等號(hào)；
不滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，||λX||=|λ|•||X||，故（2）不正確；
（3）

x12+x22+x32+2

 不滿足||X||≥0，當(dāng)且僅當(dāng)X為零向量時(shí)，不等式取等號(hào)；
故（3）不正確；
（4）

x12+x22+x32

，滿足||X||≥0，當(dāng)且僅當(dāng)X為零向量時(shí)，不等式取等號(hào)；
同時(shí)滿足，對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，||λX||=|λ|•||X||，
即（4）同時(shí)滿足向量X的范數(shù)的三個(gè)條件
故答案為：（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是演繹推理，判斷一個(gè)式子是否是表達(dá)向量X的范數(shù)，關(guān)鍵是要根據(jù)向量X的范數(shù)的定義中所滿足的性質(zhì)逐一進(jìn)行檢驗(yàn)．