Question

已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），過(guò)F₂垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=3．
（Ⅰ）求橢圓形的方程；
（Ⅱ）過(guò)F₁點(diǎn)作相互垂直的直線l₁，l₂，分別交橢圓于p₁，p₂，p₃，p₄試探究

1

|p1p2|

+

1

|p3p4|

是否為定值？并求當(dāng)圓邊形p₁，p₂，p₃，p₄的面積S最小時(shí)，直線l₁，l₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知條件推導(dǎo)出a²-b²=1，

2b2

a

=3．由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）若l₁、l₂中一條的斜率不存在，則另一條的斜率則為0，

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

7

12

．若l₁、l₂的斜率均存在且不為0，設(shè)l₁的方程：y=k（x+1），則l₂的方程：y=-

1

k

(x+1)，聯(lián)立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=- 1 k (x+1)

得：（3k²+4）y²+6ky-9=0，由韋達(dá)定理求出|P₃P₄|=

12(k2+1)

3k2+4

．同理可得：|P1P2|=

12(k2+1)

4k2+3

，由此能求出四邊形P₁P₃P₂P₄的面積S最小時(shí)，l₁、l₂的直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由焦點(diǎn)F₂的坐標(biāo)為（1，0）知a²-b²=1，①
再由

12

a2

+

y2

b2

=1，整理得y=±

b2

a

．
∵過(guò)F₂垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)|AB|=3，
∴

2b2

a

=3．②
聯(lián)立①、②可解得a²=4，b²=3．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（Ⅱ）若l₁、l₂中一條的斜率不存在，則另一條的斜率則為0，
此時(shí)，|P₁P₂|=4，|P₃P₄|=|AB|=3，
于是

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

1

4

+

1

3

=

7

12

．…（5分）
若l₁、l₂的斜率均存在且不為0，
設(shè)l₁的方程：y=k（x+1），則l₂的方程：y=-

1

k

(x+1)，
聯(lián)立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=- 1 k (x+1)

消去x得：（3k²+4）y²+6ky-9=0，
∴y1+y2=-

6k

3k2+4

，y1y2=-

9

3k2+4

，
∴|P3P4|=

1+k2

|y1-y2|=

1+k2

36k2 (3k2+4)2 + 36 3k2+4

=

12(k2+1)

3k2+4

．
同理可得：|P1P2|=

12(k2+1)

4k2+3

，
∴

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

4k2+3

12(k2+1)

+

3k2+4

12(k2+1)

=

7

12

．
∴綜上知

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

7

12

（定值）．…（9分）
∵

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

7

12

≥2

1 |P1P2||P3P4|

，
∴|P1P2||P3P4|≥(

24

7

)2=

576

49

，
∴Smax=

1

2

|P1P2||P3P4|≥

288

49

．
當(dāng)且僅當(dāng)|P₁P₂|=|P₃P₄|，
即

12(k2+1)

4k2+3

=

12(k2+1)

3k2+4

時(shí)，S最小，此時(shí)解得k=±1，
∴四邊形P₁P₃P₂P₄的面積S最小時(shí)，
l₁、l₂的直線方程：y=±（x+1）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積最小時(shí)直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．