Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|x-2|+k．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時，解不等式：f（x）＜3x；
（Ⅱ）若f（x）≥3恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）絕對值不等式的解法，通過對x分x＜2、x=2、x＞2三類討論，即可求得當(dāng)k=1時，不等式：f（x）＜3x的解集；
（Ⅱ）依題意，通過對x分x＜2、x=2、x＞2三類討論，去掉絕對值符號，即可求得k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)k=1時，f（x）＜3x?|x-3|+|x-2|+1＜3x，
當(dāng)x＜2時，3-x+2-x+1＜3x，解得：

6

5

＜x＜2；
當(dāng)2≤x≤3時，3-x+x-2+1＜3x，解得：x＞

2

3

，故2≤x≤3；
當(dāng)x＞3時，2x-5+1＜3x，解得x＞-4，故x＞3；
綜上所述，當(dāng)k=1時，原不等式的解集為{x|x＞

6

5

}；
（Ⅱ）f（x）≥3?|x-3|+|x-2|+k≥3?|x-3|+|x-2|≥3-k，
當(dāng)x＜2時，3-x+2-x≥3-k，即k≥2x-2，解得k≥2；
當(dāng)2≤x≤3時，3-x+x-2+k≥3，解得：k≥2；
當(dāng)x＞3時，2x-5+k≥3，解得k≥2；
綜上所述，k≥2．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，通過對x分x＜2、x=2、x＞2三類討論，去掉絕對值符號是關(guān)鍵，考查分類討論思想與運算求解能力，屬于中檔題．