已知函數(shù)f(x)=
a(1-x)
x
ln(1-x)(a∈R),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求f(x)在區(qū)間[1-e2,1-e]上的最值;
(2)若n≥2(n∈N*),試比較(1+
1
2!
) (1+
1
3!
) …(1+
1
n!
)
與e的大小,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù),當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為0時(shí),求出函數(shù)的增減區(qū)間,即可求最值;
(2)對(duì)a分情況討論,通過(guò)放縮不等式,使不等式變成已有的簡(jiǎn)單式子進(jìn)行證明.
解答:解:(1)f,(x)=
a
x2
[x+ln(1-x)]
,設(shè)h(x)=x+ln(1-x),x∈R,
h(x)=
ax
x-1
,即h(x)在(-∞,0]上遞增,故h(x)<h(0)=a,
即對(duì)x∈[1-e2,1-e],有h(x)<a.
①當(dāng)a>0,有f(x)>0,f(x)在[1-e2,1-e]上遞增
f(x)max=f(1-e)=
ae
1-e
f(x)min=f(1-e2)=
ae2
1-e2

②當(dāng)a<0,有f(x)<0,f(x)在[1-e2,1-e]上遞減,
f(x)min=f(1-e)=
ae
1-e
,f(x)max=f(1-e2)=
ae2
1-e2

③當(dāng)a=0,有f(x)=0,f(x)min=f(x)max=0.
(2)若n≥2(n∈N*),猜想:(1+
1
2!
) (1+
1
3!
) …(1+
1
n!
)<e

證明如下:據(jù)(1)知當(dāng)x≤0時(shí)恒有h(x)≤0,即ln(1-x)≤-x
ln(1+
1
2!
) (1+
1
3!
) …(1+
1
n!
)=ln(1+
1
2!
) +ln(1+
1
3!
) +…+ln(1+
1
n!
)

1
2!
+
1
3!
1
n!
< 
1
1×2
+
1
2×3
…+
1
(n-1)×n
<1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-…+
1
n-1
-
1
n
<e

(1+
1
2!
) (1+
1
3!
) …(1+
1
n!
)<e
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求最值以及不等式的證明,不等式的合理放縮是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn),則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3),解不等式f(
2x
)>3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿(mǎn)足a•b≠0
(1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案