16.已知Rt△ABC中,∠C=90°.AC=3,BC=4,P為線段AB上的點(diǎn),且$\overrightarrow{CP}$=$\frac{x}{|\overrightarrow{CA}|}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{y}{|\overrightarrow{CB}|}$•$\overrightarrow{CB}$,則xy的最大值為( 。
A.3B.2C.1D.4

分析 根據(jù)三點(diǎn)共線的向量式子,得出x與y的關(guān)系.根據(jù)基本不等式得出xy的最大值.

解答 解:P為線段AB上的點(diǎn),且$\overrightarrow{CP}$=$\frac{x}{|\overrightarrow{CA}|}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{y}{|\overrightarrow{CB}|}$•$\overrightarrow{CB}$.
∴$\frac{x}{|\overrightarrow{CA}|}+\frac{y}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$且x>0,y>0
∴$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}≥2\sqrt{\frac{x}{3}•\frac{y}{4}}=\sqrt{\frac{xy}{3}}$
∴xy≤3
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$時(shí),等號(hào)成立.
則xy的最大值為3.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 考查平面向量三點(diǎn)共線問題,基本不等式.

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A.4,4B.4,2C.8,8D.8,4

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