Question

5．已知k∈Z，關(guān)于x的不等式k（x+1）＞$\frac{2x}{e^x}$在（0，+∞）上恒成立，則k的最小值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為k＞$\frac{2x}{x+1}$•e^-x對x＞0恒成立，令f（x）=e^-x•$\frac{2x}{x+1}$，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，求出k的最小值即可．

解答 解：k（x+1）＞$\frac{2x}{e^x}$在（0，+∞）上恒成立，
即k＞$\frac{2x}{x+1}$•e^-x對x＞0恒成立，
令f（x）=e^-x•$\frac{2x}{x+1}$，（x＞0），
f′（x）=$\frac{-2{（x}^{2}+x-1）}{{{e}^{x}（x+1）}^{2}}$，
∴f′（x）＞0?x²+x-1＜0
⇒0＜x＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，f′（x）＜0?x＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
則f（x）_max=f（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）=$\frac{3-\sqrt{5}}{{e}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$，
而0＜$\frac{3-\sqrt{5}}{{e}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
又k∈Z，故k的最小值是1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．