Question

如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒(méi)有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym．
（Ⅰ）若菜園面積為72m²，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小？
（Ⅱ）若使用的籬笆總長(zhǎng)度為30m，求

1

x

+

2

y

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得xy=72，而籬笆總長(zhǎng)為x+2y．利用基本不等式x+2y≥2

2xy

即可得出；
（II）由已知得x+2y=30，利用基本不等式（

1

x

+

2

y

）•（x+2y）=5+

2y

x

+

2x

y

≥5+2

2y x • 2x y

，進(jìn)而得出．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得xy=72，而籬笆總長(zhǎng)為x+2y．
又∵x+2y≥2

2xy

=24，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=12，y=6時(shí)等號(hào)成立．
∴菜園的長(zhǎng)x為12m，寬y為6m時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最�。�
（Ⅱ）由已知得x+2y=30，
又∵（

1

x

+

2

y

）•（x+2y）=5+

2y

x

+

2x

y

≥5+2

2y x • 2x y

=9，
∴

1

x

+

2

y

≥

3

10

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y，即x=10，y=10時(shí)等號(hào)成立．
∴

1

x

+

2

y

的最小值是

3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用基本不等式的“最值定理”解決實(shí)際問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．