Question

已知函數定義域為（）,設．
（1）試確定的取值范圍,使得函數在上為單調函數；
（2）求證:；
（3）求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數．

Answer 1

（1） 因為
由；由,
所以在上遞增,在上遞減
欲在上為單調函數,則           -----------------3分
（2）因為在上遞增,在上遞減,
所以在處取得極小值 
又,所以在上的最小值為 
從而當時,,即               -----------------6分
（3）因為,所以即為,
令,從而問題轉化為證明方程                 =0在上有解,并討論解的個數  --------7分                  
因為,
,             --------------8分
所以 ① 當時,,
所以在上有解,且只有一解
② 當時,,但由于,
所以在上有解,且有兩解
③ 當時,,
所以在上有且只有一解；
④ 當時,在上也有且只有一解    ------------10分
綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,
且當時,有唯一的適合題意；
當時,有兩個適合題．

略