Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

6

，且經(jīng)過點(diǎn)(1，

1

2

)．若直線x+y-1=0與橢圓交于兩點(diǎn)P，Q，求證：OP⊥OQ．

Answer 1

分析：由橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

6

，橢圓經(jīng)過點(diǎn)(1，

1

2

)，推導(dǎo)出橢圓方程為

2x2

3

+

4y2

3

=1．由此能夠證明OP⊥OQ．

解答：解：∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

6

，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

3 2

+

y2

b2

=1，
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)(1，

1

2

)，
∴

2

3

+

1 4

b2

=1，解得b²=

3

4

，
∴橢圓方程為

2x2

3

+

4y2

3

=1．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x+y-1=0 2x2+4y2=3

，得6x²-8x+1=0，
∴x₁+x₂=

4

3

，x1x2 =

1

6

，
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

4

3

+

1

6

=-

1

6

．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴OP⊥OQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線垂直的證明，具體涉及到橢圓方程的性質(zhì)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．