Question

【題目】函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，當x＞0時， ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是偶函數(shù)，

∴f（﹣x）=f（x）

設x＜0，則﹣x＞0，f（﹣x）=

∴

∴

（2）解：當x＞0時， ，

令f'（x）=0x=2

∴當x∈（0，2）時，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，

x∈（2，+∞）時，f'（0）＞0，f（x）是增函數(shù)，

且函數(shù)f（x）在此區(qū)間上有極小值y極小=f（2）=5

又f（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱

∴x＜0時，f（x）的增區(qū)間為（﹣2，0），減區(qū)間為（﹣∞，﹣2）

綜上所述，f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣2）和（0，2）上是減函數(shù)

在區(qū)間（﹣2，0）和（2，+∞）上是增函數(shù)，值域為f（x）∈[5，+∞）

【解析】①先由奇偶性尋求f（﹣x）與f（x）的關(guān)系，再設x＜0，則﹣x＞0，按照求函數(shù)值求解；②用導數(shù)判斷單調(diào)性，確定單調(diào)區(qū)間求得值域．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．