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【題目】在如圖所示的幾何體中, , , , ,二面角的大小為.

(1)求證: 平面;

(2)求平面與平面所成的角(銳角)的大;

(3)若的中點,求直線與平面所成的角的大小.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知可得AC⊥CD,AC⊥CB,即BCD為二面角B﹣AC﹣E的平面角,即BCD=60°,求解三角形可得BDDC,再由線面垂直的判定可得AC平面BCD,得到ACBD,進一步得到BD平面ACDE;

(Ⅱ)由BD平面ACDE,得BD⊥DC,BD⊥DE,可得DB,DC,DE兩兩垂直,分別以DB,DC,DE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,求出所用點的坐標,得到平面BAE與平面BCD的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面BCD與平面BAE所成的角;

)若F為AB的中點,由(II)可得,進一步得到,由已知可得平面BDE的一個法向量為,由所成角的余弦值的絕對值可得直線EF與平面BDE所成角的大。

試題解析:

1因為,則, ,

所以為二面角的平面角,即

中, ,

所以,所以,即,

, ,且,可知平面,

平面,所以

又因為, 平面, 平面,

所以平面

2)由平面 ,,即, 兩兩垂直,

則以 , 分別為軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖所示.

由(I)知, , ,

依題意, ,

設平面的一個法向量為

,即,不妨設,可得,

平面可知平面的一個法向量為

設平面與平面所成的角(銳角)為

所以,于是,

所以平面與平面所成的角(銳角)為

3)若的中點,則由(II)可得,所以

依題意平面,可知平面的一個法向量為

設直線與平面所成角為,則

,所以直線與平面所成角的大小

練習冊系列答案
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i)求的解析式;

ii)求不等式的解集.

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(2)求證: 平面;

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