Question

已知f(x)=

x

，，g(x)=x+a（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，求|

f(x)-ag(x)

f(x)

|的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M（f（x），g（x））到直線x+y-1=0的距離的最小值為4

2

時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析：（I）把a(bǔ)=4代入到F（x）中化簡(jiǎn)得到F（x）的解析式利用基本功不等式求出F（x）的最小值即可；
（Ⅱ）由已知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

x

，，x+a)，表示出點(diǎn)M到直線x+y-1=0的距離，由二次函數(shù) 的單調(diào)性求最值的方法求出最值即可列出關(guān)于a的等式，求出解7B即可．

解答：解（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，|

f(x)-ag(x)

f(x)

|=|

x -4x-16

x

|=|4(

x

+

4

x

)-1|
=4(

x

+

4

x

)-1≥4•2

4

=15．…（3分）
∴當(dāng)

x

=

4

x

，即x=4時(shí)，|

f(x)-ag(x)

f(x)

|min=15．             …（5分）
（Ⅱ）由已知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

x

，，x+a)，則點(diǎn)M到直線x+y-1=0的距離為d=

| x +x+a-1|

2

=

1

2

|(

x

+

1

2

)2+a-

5

4

|．         …（8分）
∵a＞0，(

x

+

1

2

)2＞0，又點(diǎn)M到直線x+y-1=0的距離為4

2

，
∴d=

1

2

[(

x

+

1

2

)2+a-

5

4

]．
當(dāng)

x

=0，即x=0時(shí)，dmin=

1

2

|a-1|．  …（10分）
∴

1

2

|a-1|=4

2

，即|a-1|=8．
又已知a＞0，∴a=9．                …（12分）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用、利用整體代換的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，以及不等式恒成立的證明方法．