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(本題滿分 13分)
集合為集合個不同的子集,對于任意不大于的正整數滿足下列條件:
,且每一個少含有三個元素;
的充要條件是(其中)。
為了表示這些子集,作列的數表(即數表),規(guī)定第行第列數為:
(1)該表中每一列至少有多少個1;若集合,請完成下面數表(填符合題意的一種即可);

(2)用含的代數式表示數表中1的個數,并證明;
(3)設數列項和為,數列的通項公式為:,證明不等式:對任何正整數都成立。
(1)見解析。
(2),證明見解析。
(3)證明見解析。
(1)根據條件①每個中至少含有三個元素,作出的數表每一列至少有三個1。
數表如下:
 
1
2
3
4
5
6
7
1
0
0
0
0
1
1
1
2
1
0
0
1
0
0
1
3
1
1
0
0
0
1
0
4
1
0
1
0
1
0
0
5
0
1
1
0
0
0
1
6
0
1
0
1
1
0
0
7
0
0
1
1
0
1
0
 
(2)題設條件①中的表明的一條對角線上數字都是0,題設條件②表明除對角線以外,恰好一個為1,而另一個為0,即數表中除該對角線以外,0與1各占一半,故數表中共有個1。另一方面,根據題設條件①每一個至少含有三個元素得:作出的數表的每一列至少有3個1,所以整個數表(共有列)至少有個1,因此列出不等式:,解得
(3)
檢驗也成立,故
證法一:要證:,只要證:
,
故只要證:,
即只要證, 又

所以命題得證。
證法二:同上       又

所以 
,故
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