【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acos2+ccos2=b.
(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列;
(2)若∠B=60°,b=4,求△ABC的面積.
【答案】(1)根據(jù)已知的邊角關(guān)系,結(jié)合二倍角公式來化簡得到證明.
(2)
【解析】
解:(1)證明:acos2+ccos2=a·+c·=b,
即a(1+cos C)+c(1+cos A)=3b.
由正弦定理得:
sin A+sin Acos C+sin C+cos Asin C=3sin B,
即sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B,
∴sin A+sin C=2sin B.
由正弦定理得,a+c=2b,
故a,b,c成等差數(shù)列.
(2)由∠B=60°,b=4及余弦定理得:
42=a2+c2-2accos 60°,
∴(a+c)2-3ac=16,
又由(1)知a+c=2b,
代入上式得4b2-3ac=16,
解得ac=16,
∴△ABC的面積S=acsin B=acsin 60°=4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是的中點(diǎn).
(1)設(shè)P是上的一點(diǎn),且AP⊥BE,求∠CBP的大;
(2)當(dāng)AB=3,AD=2時(shí),求二面角E-AG-C的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn),任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上,這條直線稱為歐拉線已知的頂點(diǎn),若其歐拉線的方程為,則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)F(-2,0),且長軸長與短軸長的比為,
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上,設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn),若當(dāng)最小時(shí),點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓過點(diǎn),,且圓心在直線上,過點(diǎn)作直線與圓:交于兩點(diǎn),.
(1)求圓的方程;
(2)當(dāng)時(shí),若于圓交于,且,求直線的方程;
(3)若點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織了一次新高考質(zhì)量測評,在成績統(tǒng)計(jì)分析中,某班的數(shù)學(xué)成績的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞,但可見部分如下,據(jù)此解答如下問題:
5 | 6 | 8 | ||||||||
6 | 2 | 3 | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 | |||
7 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
8 | ||||||||||
9 | 5 | 8 |
(1)求該班數(shù)學(xué)成績在的頻率及全班人數(shù);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該班這次測評的數(shù)學(xué)平均分;
(3)若規(guī)定90分及其以上為優(yōu)秀,現(xiàn)從該班分?jǐn)?shù)在80分及其以上的試卷中任取2份分析學(xué)生得分情況,求在抽取的2份試卷中至少有1份優(yōu)秀的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年為我國改革開放40周年,某事業(yè)單位共有職工600人,其年齡與人數(shù)分布表如下:
年齡段 | ||||
人數(shù)(單位:人) | 180 | 180 | 160 | 80 |
約定:此單位45歲~59歲為中年人,其余為青年人,現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會的觀眾.
(1)抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人?
(2)若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關(guān)心民生大事,其余人熱衷關(guān)心民生大事.完成下列列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)?
熱衷關(guān)心民生大事 | 不熱衷關(guān)心民生大事 | 總計(jì) | |
青年 | 12 | ||
中年 | 5 | ||
總計(jì) | 30 |
(3)若從熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾(其中1人擅長歌舞,3人擅長樂器)中,隨機(jī)抽取2人上臺表演節(jié)目,則抽出的2人能勝任才藝表演的概率是多少?
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】恩格爾系數(shù)(記為)是指居民的食物支出占家庭消費(fèi)總支出的比重.國際上常用恩格爾系數(shù)來衡量一個(gè)國家和地區(qū)人民生活水平的狀況.聯(lián)合國對消費(fèi)水平的規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)如下表:
家庭類型 | 貧窮 | 溫飽 | 小康 | 富裕 | 最富裕 |
實(shí)施精準(zhǔn)扶貧以來,根據(jù)對某山區(qū)貧困家庭消費(fèi)支出情況(單位:萬元)的抽樣調(diào)查,2018年每個(gè)家庭平均消費(fèi)支出總額為2萬元,其中食物消費(fèi)支出為1.2萬元預(yù)測2018年到2020年每個(gè)家庭平均消費(fèi)支出總額每年的增長率約是30%,而食物消費(fèi)支出平均每年增加0.2萬元,預(yù)測該山區(qū)的家庭2020年將處于( )
A.貧困水平B.溫飽水平C.小康水平D.富裕水平
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