Question

12．如圖，⊙O的半徑為 4，線段AB與⊙O相交于點(diǎn)C、D，AC=2，∠BOD=∠A，OB與⊙O相交于點(diǎn)E．
（Ⅰ） 求BD長； 
（Ⅱ）當(dāng)CE⊥OD時，求證：AO=AD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由OC=OD，可得∠OCA=∠ODB．進(jìn)而單調(diào)△OBD∽△AOC．利用相似三角形的性質(zhì)即可得出．
（Ⅱ）由OC=OE，CE⊥OD．可得∠COD=∠BOD=∠A．進(jìn)而得出．

解答 （Ⅰ）解：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB．
∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴$\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}$，
∵OC=OD=4，AC=2，∴$\frac{BD}{4}=\frac{4}{2}$，∴BD=8． 
（Ⅱ）證明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°-∠A-∠ODC=180°-∠COD-∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO．

點(diǎn)評 本題考查了圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．