Question

偶函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，且f′（-1）=-2，f（x+2）=f（x-2），則曲線y=f（x）在點(diǎn)（-3，f（-3））處切線的斜率為（　�。�

• A、2
• B、-2
• C、1
• D、-1

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)f（x+2）=f（x-2）兩邊求導(dǎo)，求出f′（x+2）=f′（x-2）；
由f（-x）=f（x），對(duì)此兩邊求導(dǎo)，得出-f′（-x）=f′（x）；由此得出f′（x+4）=f′（x）；求出x=-3時(shí)的導(dǎo)數(shù)即可．

解答： 解：∵f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，
∴對(duì)f（x+2）=f（x-2）兩邊求導(dǎo)，得：
f′（x+2）•（x+2）′=f′（x-2）•（x-2）′，
即f′（x+2）=f′（x-2）；
又∵f（-x）=f（x），
∴f′（-x）*（-x）′=f′（x），
即-f′（-x）=f′（x）；
∴f′（x+2+2）=f′（x+2-2），
即f′（x+4）=f′（x）；
∴f′（-3）=f′（-3+4）=f′（1）=-f′（-1）=2；
∴曲線y=f（x）的點(diǎn)（-3，f（-3））處切線的斜率是2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了偶函數(shù)的對(duì)稱性與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的問題，解題時(shí)應(yīng)靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線斜率，是較難的題目．