Question

長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=1，AA₁=AD=2．點(diǎn)E為AB中點(diǎn)．
（1）求三棱錐A₁-ADE的體積；
（2）求證：A₁D⊥平面ABC₁D₁；
（3）求證：BD₁∥平面A₁DE．

Answer 1

（1）在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因?yàn)锳B=1，E為AB的中點(diǎn)，所以，AE=

1

2

，
又因?yàn)锳D=2，所以S△ADE=

1

2

AD•AE=

1

2

×2×

1

2

=

1

2

，（2分）
又AA₁⊥底面ABCD，AA₁=2，
所以，三棱錐A₁-ADE的體積V=

1

3

S△ADE•AA1=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

．（4分）
（2）因?yàn)锳B⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，
所以AB⊥A₁D．（6分）
因?yàn)锳DD₁A₁為長(zhǎng)方形，所以AD₁⊥A₁D，（7分）
又AD₁∩AB=A，所以A₁D⊥平面ABC₁D₁．（9分）
（3）設(shè)AD₁，A₁D的交點(diǎn)為O，連接OE，
因?yàn)锳DD₁A₁為正方形，所以O(shè)是AD₁的中點(diǎn)，（10分）
在△AD₁B中，OE為中位線，所以O(shè)E∥BD₁，（11分）
又OE?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE，（13分）
所以BD₁∥平面A₁DE．（14分）