已知函數(shù)
，其中
且
.
（1）求證：函數(shù)
在點
處的切線與總有兩個不同的公共點；
（2）若函數(shù)在區(qū)間
上有且僅有一個極值點，求實數(shù)
的取值范圍.
（1）詳見解析；（2）實數(shù)
的取值范圍是
．
解析試題分析：（1）求證：函數(shù)在點處的切線與總有兩個不同的公共點，先求出函數(shù)在點處的切線方程，因此對函數(shù)求導(dǎo)得
，從而得
，再求出
，由點斜式即可得切線方程
，證切線與總有兩個不同的公共點，即方程
有兩個不同的解，即
有兩個不同的解，由已知
，故方程存在兩解，既得證．（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點，只需
在區(qū)間上有且僅有一個解，且在解的兩邊異號，而
是二次函數(shù)，故只需
，即可求出
的取值范圍．
（1）由已知可得. 1分
， 2分
又
，
在
處的切線方程為. 4分
令，整理得.
或
， 5分
， 6分與切線有兩個不同的公共點. 7分
（2）
在
上有且僅有一個極值點，
在上有且僅有一個異號零點， 9分
由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得， 10分
即
，解得
或
， 12分
綜上，的取值范圍是. 13分
考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)函數(shù)
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）記曲線
在點
（其中
）處的切線為
，與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
，求的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的極值點．已知a，b是實數(shù)，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點．
(1)求a和b的值；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0,2)，且在點P處有相同的切線y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，曲線
經(jīng)過點
，
且在點
處的切線為
.
（1）求
、
的值；
（2）若存在實數(shù)
，使得
時，
恒成立，求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
（1）求函數(shù)
在
處的切線的斜率；
（2）求函數(shù)的最大值；
（3）設(shè)
，求函數(shù)
在
上的最大值.
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．
的遞減區(qū)間；
上的最值．
在
處的切線的斜率為
.
的值及函數(shù)
的最大值；
．
，
．
，討論
在
內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
時，恒有
．