3.已知A,B是橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn),M是E上不同于A,B的任意一點(diǎn),若直線AM,BM的斜率之積為-$\frac{4}{9}$,則E的離心率為(  )
A.$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$B.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

分析 設(shè)出M坐標(biāo),由直線AM,BM的斜率之積為-$\frac{4}{9}$得一關(guān)系式,再由點(diǎn)M在橢圓上變形可得另一關(guān)系式,聯(lián)立后結(jié)合隱含條件求得E的離心率.

解答 解:由題意方程可知,A(-a,0),B(a,0),
設(shè)M(x0,y0),∴${k}_{AM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a},{k}_{BM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$,
則$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{4}{9}$,整理得:$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{4}{9}$,①
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$,得${{y}_{0}}^{2}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}({a}^{2}-{{x}_{0}}^{2})$,即$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$,②
聯(lián)立①②,得$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{4}{9}$,即$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{9}$,解得e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$.
故選:D.

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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13.已知函數(shù)f(x)=2x2-4x+3,則函數(shù)f(x)在[-1,2]上的最大值為9.

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14.近日石家莊獅身人面像拆除,圍繞此事件的種種紛爭,某媒體通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民對此的看法,得到表
認(rèn)為就應(yīng)依法拆除認(rèn)為太可惜了
4510
3015
附:
P(K2≥k)0.100.050.025
k2.7063.8415.024
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
參照附表,得到的正確結(jié)論是(  )
A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別有關(guān)”
B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下,認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別無關(guān)”
C.有90%以上的把握認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別有關(guān)”
D.有90%以上的把握認(rèn)為“認(rèn)為拆除太可惜了與性別無關(guān)”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.已知函數(shù)f(x)=x2+(m+1)x+(m+1)的圖象與x軸有公共點(diǎn),則m的取值范圍是(-∞,-1]∪[3,+∞)(用區(qū)間表示).

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18.已知橢圓C:$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1,過點(diǎn)D(0,4)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N(M在D,N之間),有以下四個(gè)結(jié)論:
①若$\left\{{\begin{array}{l}{{x^'}=x}\\{{y^'}=2y}\end{array}}$,橢圓C變成曲線E,則曲線E的面積為4π;
②若A是橢圓C的右頂點(diǎn),且∠MAN的角平分線是x軸,則直線l的斜率為-2;
③若以MN為直徑的圓過原點(diǎn)O,則直線l的斜率為±2$\sqrt{5}$;
④若$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DM}$,則λ的取值范圍是1<λ≤$\frac{5}{3}$.
其中正確的序號是①④.

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8.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2.,A1關(guān)于直線bx+ay=0的對稱點(diǎn)在圓(x+a)2+y2=a2上,則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

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15.若關(guān)于x的一元二次方程3x2+2ax+1=0沒有實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是( 。
A.(-∞,-$\sqrt{3}$)∪($\sqrt{3}$,+∞)B.(-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$)C.[-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$]D.[-3,3]

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12.對于在區(qū)間[m,n]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x),如果對任意x∈[m,n]均有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)與g(x)在[m,n]上是接近的;否則稱f(x)與g(x)在[m,n]上是非接近的.現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)f1(x)=loga(x-3a),與f2(x)=loga$\frac{1}{x-a}$(a>0,a≠1),給定區(qū)間[a+2,a+3].
(1)若f1(x)與f1(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,求a的取值范圍;
(2)討論f1(x)與f1(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上是否是接近的?

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16.已知函數(shù)$f(x)=\frac{lnx}{x}$.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值.

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