如圖，已知焦點在軸上的橢圓經(jīng)過點，直線
交橢圓于不同的兩點．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求實數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)，使△是以為直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，請說明理由．

（1）（2）（3）見解析

解析試題分析：（1）設(shè)出橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由離心率的值及橢圓過點（4，1）求出待定系數(shù)，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍即可；
（3）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實數(shù)m滿足題意，再利用△ABM為直角三角形，結(jié)合向量垂直的條件求出m，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
試題解析：解：（1）依題意，解得，    2分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．      3分
（2）由得，           4分
直線與橢圓有兩個不同的交點，
            6分
解得                          7分
（3）假設(shè)存在實數(shù)滿足題意，則由為直角得，        8分
設(shè)，，由（2）得，    9分
，   10分
，             11分

             12分
得   13分
因為，
綜上所述，存在實數(shù)使△為直角三角形．    14分
考點：1.直線與圓錐曲線的綜合問題；2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）的右焦點為，且橢圓過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)斜率為的直線與橢圓交于不同兩點、，以線段為底邊作等腰三角形，其中頂點的坐標(biāo)為，求△的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是橢圓上兩點，點的坐標(biāo)為.
（1）當(dāng)關(guān)于點對稱時，求證：；
（2）當(dāng)直線經(jīng)過點時，求證：不可能為等邊三角形.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線上的任意一點到該拋物線焦點的距離比該點到軸的距離多1．

（1）求的值；
（2）如圖所示，過定點（2，0）且互相垂直的兩條直線、分別與該拋物線分別交于、、、四點．
（i）求四邊形面積的最小值；
（ii）設(shè)線段、的中點分別為、兩點，試問：直線是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于兩點，點是橢圓的右頂點．直線與直線分別與軸交于點，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓相交于、兩點， 為原點，在、上分別存在異于點的點、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，點、分別在橢圓和上，，求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)A1、A2與B分別是橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左、右頂點與上頂點，直線A2B與圓C：x2＋y2＝1相切．
(1)求證：＝1；
(2)P是橢圓E上異于A1、A2的一點，若直線PA1、PA2的斜率之積為－，求橢圓E的方程；
(3)直線l與橢圓E交于M、N兩點，且·＝0，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知圓，經(jīng)過橢圓的右焦點F及上頂點B，過圓外一點傾斜角為的直線交橢圓于C，D兩點，

（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案