Question

已知函數(shù)

（1）若，試討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極值1，求在區(qū)間上的最大值.

Answer 1

（1）函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；當(dāng)時(shí), 在最大值為．

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先根據(jù)函數(shù)在處取得極值1求得值，再進(jìn)行討論利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

易知函數(shù)為上的減函數(shù)，令得導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806015381444841/SYS201503280601584083464450_DA/SYS201503280601584083464450_DA.019.png">，因此，故導(dǎo)數(shù)值在為正，在為負(fù)，

所以函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)；（5分）

（2）由題意當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)， ，

依題意得，

經(jīng)檢驗(yàn)符合條件，因此

當(dāng)時(shí)，，，

令得當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

			0		1
		+	0	—
		遞增	極大值1	遞減

由上表可知在上的最大值為.

當(dāng)時(shí),.

，

令，

當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，

當(dāng)時(shí)，

在單調(diào)遞減，所以恒成立.

此時(shí)函數(shù)在上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，在上，

當(dāng)時(shí), 在上

所以在上，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).

∴在最大值為，

，故函數(shù)在上最大值為.

綜上：當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；

當(dāng)時(shí), 在最大值為.（12分）

考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.函數(shù)的最值；3.分類討論思想.