Question

11．橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，直線l的極坐標(biāo)方程2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）+9=0．
（1）寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)A（1，0），若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線l的距離相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角代換寫出橢圓C的參數(shù)方程，消去此時(shí)t可得直線l的普通方程；
（2）利用兩點(diǎn)間距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，通過橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線l的距離相等，列出方程，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為為參數(shù)），l：x-$\sqrt{3}$y+9=0．…（4分）
（2）設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），則|AP|=2-cosθ，
P到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ-3sinθ+9|}{2}$=$\frac{2cosθ-3sinθ+9}{2}$．
由|AP|=d得3sinθ-4cosθ=5，又sin²θ+cos²θ=1，得sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=-$\frac{4}{5}$．
故P（-$\frac{8}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離以及兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．