6.如圖,某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長(zhǎng)為x,y(單位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架圍成的總面積是8m2
(1)求x,y的關(guān)系式,并求x的取值范圍;
(2)問x,y分別為多少時(shí)用料最?

分析 (1)由題意可得:xy+$\frac{1}{2}•$$(\frac{x}{\sqrt{2}})^{2}$=8.化為:y=$\frac{32-{x}^{2}}{4x}$,令y>0,解出即可得出x的取值范圍.
(2)用料總長(zhǎng)度f(x)=2y+2x+$\sqrt{2}$x=$\frac{3}{2}x$+$\sqrt{2}$x+$\frac{16}{x}$,(0<x<4$\sqrt{2}$).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(1)由題意可得:xy+$\frac{1}{2}•$$(\frac{x}{\sqrt{2}})^{2}$=8.
化為:y=$\frac{32-{x}^{2}}{4x}$(0<x<4$\sqrt{2}$).
(2)用料總長(zhǎng)度f(x)=2y+2x+$\sqrt{2}$x=$2×\frac{32-{x}^{2}}{4x}$+2x+$\sqrt{2}$x=$\frac{3}{2}x$+$\sqrt{2}$x+$\frac{16}{x}$,(0<x<4$\sqrt{2}$).
f′(x)=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$-$\frac{16}{{x}^{2}}$=$\frac{(3+2\sqrt{2}){x}^{2}-32}{2{x}^{2}}$=$\frac{(x+8-4\sqrt{2})[x-(8-4\sqrt{2})]}{2{x}^{2}}$,
令f′(x)=0,解得x=8-4$\sqrt{2}$,此時(shí)函數(shù)f(x)取得極小值即最小值.可得y=2$\sqrt{2}$.
∴x,y分別為8-4$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$時(shí)用料最省.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程思想方法、方程與不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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16.由一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到回歸直線方程y=bx+a,那么下列說法中不正確的是(  )
A.直線y=bx+a必經(jīng)過點(diǎn)$(\overline x,\overline y)$
B.直線y=bx+a至少經(jīng)過(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個(gè)點(diǎn)
C.直線y=bx+a的縱截距為$\overline y-b\overline x$
D.直線y=bx+a的斜率為$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.設(shè)函數(shù)f(x)=$\frac{x^2}{2}$-alnx.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e2]內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),試求a的取值范圍.

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14.設(shè)c1,c2,…,cn是a1,a2,…,an的某一排列(a1,a2,…,an均為正數(shù)),則$\frac{{a}_{1}}{{c}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{c}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{c}_{n}}$的最小值是(  )
A.2nB.$\frac{1}{n}$C.$\sqrt{n}$D.n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.奇臺(tái)一中高一年級(jí)數(shù)學(xué)老師這學(xué)期分別用A、B兩種不同的教學(xué)方式試驗(yàn)甲、乙兩個(gè)班(人數(shù)均為60人,入學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同,勤奮程度和自覺性都一樣).現(xiàn)隨機(jī)收取甲、乙兩班各20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī),得到莖葉圖:

學(xué)校規(guī)定:成績(jī)不低于85分的為優(yōu)秀.
請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表,并判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)?”
甲班乙班合計(jì)
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計(jì)
下面臨界值表僅供參考:

P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
(參考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.下列說法中正確的有:①②
①若0<α<$\frac{π}{2}$,則sinα<α<tanα
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15.如圖,在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=3,E為PD中點(diǎn),F(xiàn)在棱PA上,且AF=1.
(1)求證:CE∥平面BDF;
(2)求點(diǎn)P到平面BDF的距離.

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16.復(fù)數(shù)z=$\sqrt{3}$+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( 。
A.第一象限內(nèi)B.實(shí)軸上C.虛軸上D.第四象限內(nèi)

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