Question

已知在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

3

，公比q=

1

3

．
（1）S_n為{a_n}的前n項和，證明：S_n=

1-an

2

；
（2）設(shè)b_n=log

1

3

a₁+log

1

3

a₂+…+log

1

3

a_n，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把已知數(shù)據(jù)代入等比數(shù)列{a_n}的前n項和公式，化簡可得；
（2）由對數(shù)的運算性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式計算可得．

解答： （1）證明：∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

3

，公比q=

1

3

，
∴a_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=

1

3n

∴前n項和S_n=

a1(1-qn)

1-q

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

（1-

1

3n

）=

1-an

2

．
（2）解：b_n=log

1

3

a₁+log

1

3

a₂+…+log

1

3

a_n
=log

1

3

（a₁•a₂•…•a_n）=log

1

3

（a₁•a₁q…•a₁q^n-1）
=log

1

3

（a₁ⁿq^1+2+…+n-1）=log

1

3

[（

1

3

）ⁿ•(

1

3

)

n2

2

]=log

1

3

(

1

3

)

n2+2n

2

=

n2+2n

2

．

點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，涉及對數(shù)的運算，屬中檔題．