Question

已知

a

=(1-cosx，2sin

x

2

)，

b

=(1+cosx，2cos

x

2

)，設(shè)f(x)=2+sinx-

1

4

|

a

-

b

|2．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）和函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
（ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（ⅱ）若函數(shù)h（x）=g（x）-λf（x）+1在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示整理可得f（x）=sin²x+2sinx；
（II）（i）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任一點(diǎn)M（x₀，y₀）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)N，然后將點(diǎn)M代入解析式即可．
（ii）先求出函數(shù)h（x）的解析式，然后設(shè)sinx=t，從而可知?（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1），再由λ＜-1時(shí)和當(dāng)λ＞-1時(shí)求出范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2+sinx-

1

4

[4cos2x+4(sin

x

2

-cos

x

2

)2]=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx…（4分）
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任一點(diǎn)M（x₀，y₀）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為N（x，y）
則x₀=-x，y₀=-y，…．（5分）
∵點(diǎn)M在函數(shù)y=f（x）的圖象上∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即∴y=-sin²x+2sinx
∴函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=-sin²x+2sinx     …（7分）
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1，
設(shè)sinx=t，（-1≤t≤1）…（9分）
則有?（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）
當(dāng)λ=-1時(shí)，?（t）=4t+1在[-1，1]上是增函數(shù)，∴λ=-1  …（11分）
當(dāng)λ≠-1時(shí)，對(duì)稱軸方程為直線t=

1-λ

1+λ

．
ⅰ） λ＜-1時(shí)，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1
ⅱ）當(dāng)λ＞-1時(shí)，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0
綜上：λ≤0．∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，0]…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、函數(shù)解析式的求法以及正弦函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．