Question

函數(shù)f（x）=x³-x²-x+1的圖象上有兩點(diǎn)A（0，1）和B（1，0）
（Ⅰ）在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f（x）的圖象在x=a處的切線平行于直線AB；
（Ⅱ）設(shè)m＞0，記M（m，f（m）），求證在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)圖象在x=b處的切線平行于直線AM．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率f′（a），求得直線AB的斜率，令f′（a）=-1（0＜a＜1）解方程即可得到a；
（Ⅱ）求出直線AM斜率，直求出線在x=b處的切線斜率為f′（b），由切線平行于AM，可令f′（b）=m²-m-1，
考察3b²-2b-m²+m=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)的根的情況，令g（b）=3b²-2b-m²+m，求得g（0），g（m），g（

1

3

），
對m討論：當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，當(dāng)

1

2

≤m＜1時(shí)，當(dāng)m≥1時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：直線AB斜率k_AB=

0-1

1-0

=-1，
函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-2x-1，
f（x）的圖象在x=a處的切線平行于直線AB，
令f′（a）=-1（0＜a＜1）即3a²-2a-1=-1，
解得a=

2

3

；
（Ⅱ）證明：f（m）=m³-m²-m+1，
則直線AM斜率k_AM=

m3-m2-m+1-1

m-0

=m²-m-1，
直線在x=b處的切線斜率為f′（b）=3b²-2b-1，
由切線平行于AM，可令f′（b）=m²-m-1
即3b²-2b-m²+m=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)的根的情況，
令g（b）=3b²-2b-m²+m，則此二次函數(shù)圖象的對稱軸為b=

1

3

，
而g（

1

3

）=-m²+m-

1

3

=-（m-

1

2

）²-

1

12

＜0，
g（0）=-m²+m=m（1-m），
g（m）=2m²-m=m（2m-1），
則（1）當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，g（0）＞0，g（m）＜0，方程g（b）=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)有一實(shí)根；
（2）當(dāng)

1

2

≤m＜1時(shí)，g（0）＞0，g（

1

3

）＜0，方程g（b）=0在區(qū)間（0，

1

3

）內(nèi)有一實(shí)根；
（3）當(dāng)m≥1時(shí)，g（

1

3

）＜0，g（m）＞0，方程g（b）=0在區(qū)間（

1

3

，m）內(nèi)有一實(shí)根．
綜上，方程g（b）=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實(shí)根，
故在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)圖象在x=b處的切線平行于直線AM．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，同時(shí)考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．