8.如圖,△ABC與△ABD都是以AB為斜邊的直角三角形,O為線段AB上一點(diǎn),BD平分∠ABC,且OD∥BC.
(1)證明:A,B,C,D四點(diǎn)共圓,且O為圓心;
(2)AC與BD相交于點(diǎn)F,若BC=2CF=6,AF=5,求C,D之間的距離.

分析 (1)利用△ABC與△ABD都是以AB為斜邊的直角三角形,可得A,B,C,D四點(diǎn)都在以AB為直徑的圓上,證明O是AB的中點(diǎn),可得O為圓心;
(2)由Rt△ADF∽R(shí)t△BCF得$\frac{AD}{DF}$=$\frac{BC}{CF}$=2,由BD平分∠ABC得$\frac{BD}{DA}$=$\frac{BC}{CF}$=2,求出AD,即可得出結(jié)論.

解答 (1)證明:因?yàn)椤鰽BC與△ABD都是以AB為斜邊的直角三角形,
所以A,B,C,D四點(diǎn)都在以AB為直徑的圓上.
因?yàn)锽D平分∠ABC,且OD∥BC,
所以∠OBD=∠CBD=∠ODB,OB=OD.
又∠OAD+∠OBD=90°,∠ODA+∠ODB=90°,
所以∠OAD=∠ODA,OA=OD.
所以O(shè)A=OB,O是AB的中點(diǎn),O為圓心.…(5分)
(2)解:由BC=2CF=6,得BF=3$\sqrt{5}$,
由Rt△ADF∽R(shí)t△BCF得$\frac{AD}{DF}$=$\frac{BC}{CF}$=2.
設(shè)AD=2DF=2x,則AF=$\sqrt{5}$x,
由BD平分∠ABC得$\frac{BD}{DA}$=$\frac{BC}{CF}$=2,
所以$\frac{3\sqrt{5}+x}{2x}$=2,解得x=$\sqrt{5}$,即AD=2$\sqrt{5}$.
連CD,由(1),CD=AD=2$\sqrt{5}$.…(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的證明,考查三角形相似的判定與性質(zhì),考查角平分線的性質(zhì),屬于中檔題.

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