Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若當(dāng)時(shí)， 的最大值為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若對任意的， ，不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意，得，對a分類討論，明確函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的解析式；（2）令.令的最小值恒大于等于零，從而得到的最大值.

試題解析：

（1）由題意，得.

當(dāng)，即時(shí)， 在時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以最大值為.

當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

所以的最大值為.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)， ， 在時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以的最大值為.

綜上得

（2）令.

①當(dāng)時(shí)， ，

由，得，

所以當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ，

故最小值為 .

故當(dāng)且時(shí)， 恒成立.

②當(dāng)，且時(shí)， .

因?yàn)?/span>，

所以單調(diào)遞增，

故 .

令，

則，

故當(dāng)時(shí)， 為減函數(shù)，

所以，

又，

所以當(dāng)時(shí)， ，

即恒成立.

③當(dāng)，且時(shí)，

，

因?yàn)?/span>，

所以單調(diào)遞減，

故.

令，

則，

所以當(dāng)時(shí)， 為增函數(shù)，

所以，

所以，即.

綜上可得當(dāng)時(shí)，“”是“成立”的充要條件.

此時(shí).

令，

則，

令，得.

故當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ，

所以的最大值為，

當(dāng)且僅當(dāng)， 時(shí)，取等號(hào)，

故的最大值為.