Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin2xcos2x+sin²2x-$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對(duì)稱中心；
（2）在△ABC中，角B為鈍角，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，f（$\frac{B}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且sinC=$\sqrt{2}$sinA，S_△ABC=4，求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．
（2）由題意求得$sin（B-\frac{π}{4}）=1$，結(jié)合$\frac{π}{2}$＜B＜π，∴求得$B=\frac{3π}{4}$．利用正弦定理求得c=2a，再利用S_△ABC=4，求得c的值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin2xcos2x+sin²2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}sin4x-\frac{1}{2}cos4x$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（4x-\frac{π}{4}）$，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$．
由$4x-\frac{π}{4}=kπ（k∈{Z}）$，解得$x=\frac{kπ}{4}+\frac{π}{16}（k∈{Z}）$，
所以函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心為$（\frac{kπ}{4}+\frac{π}{16}，0）（k∈Z）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（4x-\frac{π}{4}）$，
∵$f（\frac{B}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$f（\frac{B}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（B-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$sin（B-\frac{π}{4}）=1$．
∵$\frac{π}{2}$＜B＜π，∴$B=\frac{3π}{4}$．
∵sinC=$\sqrt{2}$sinA，∴c=2a．
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•a•\sqrt{2}a•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=4$，$a=2\sqrt{2}$，∴c=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二倍角公式、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性，正弦定理，屬于中檔題．