Question

【題目】如圖，點(diǎn)為圓：上一動點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且，試問在曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在；詳見解析

【解析】

（1）設(shè)，，，通過，即為的中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求解，點(diǎn)的軌跡的方程．

（2）設(shè)直線的方程為，先根據(jù)，可得，①，再根據(jù)韋達(dá)定理，點(diǎn)在橢圓上可得，②，將①代入②可得，該方程無解，問題得以解決

（1）設(shè)，，則，，

由題意知，所以為中點(diǎn)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即，

又點(diǎn)在圓：上，故滿足，得.

曲線的方程.

（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，

因為，故，即①，

聯(lián)立，消去得：，

設(shè)，，

，，

，

因為四邊形為平行四邊形，故，

點(diǎn)在橢圓上，故，整理得②，

將①代入②，得，該方程無解，故這樣的直線不存在.