Question

【題目】已知函數(shù)滿(mǎn)足，對(duì)于任意都有，且，另

（1）求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給予證明.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

；

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn),證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先由，得，由，得出對(duì)稱(chēng)軸方程為，于是得出，再由得出不等式對(duì)任意恒成立，于是得出，從而解出、的值，進(jìn)而得出函數(shù)的解析式；

（2）先將函數(shù)表示成分段函數(shù)的形式，考查對(duì)稱(chēng)軸與相應(yīng)定義域的位置關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）利用（2）中函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1），，

對(duì)于任意都有,

函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，即，得.

又，即對(duì)于任意都成立，

且，又，，．

；

（2）.

① 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，

若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

② 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

；

（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，，故函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)．