Question

9．設(shè)z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$．
①求|z|；
②若$\frac{{|{\overline z}|+mi}}{1-i}=\sqrt{2}$i，m∈R，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 ①根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
②根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件建立方程即可求出m的值．

解答 解：①z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$=$\frac{5-3i+2+4i}{3+4i}$=$\frac{7+i}{3+4i}$=$\frac{（7+i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{25-25i}{9+16}$=1-i，
則|z|=$\sqrt{2}$；
②若$\frac{{|{\overline z}|+mi}}{1-i}=\sqrt{2}$i，m∈R，
則|$\overline{z}$|+mi=$\sqrt{2}$i（1-i）=$\sqrt{2}$i+$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{2}$+mi=$\sqrt{2}$i+$\sqrt{2}$，
即m=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)數(shù)的化簡和模長的計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．