Question

3．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)A（m，4）到其焦點(diǎn)的距離為$\frac{17}{4}$．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）設(shè)B（-1，1），過(guò)點(diǎn)B任作兩直線A₁B₁，A₂B₂，與拋物線C分別交于點(diǎn)A₁，B₁，A₂，B₂，過(guò)A₁，B₁的拋物線C的兩切線交于P，過(guò)A₂，B₂的拋物線C的兩切線交于Q，求PQ的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：y=-$\frac{p}{2}$，根據(jù)拋物線定義能求出p與m的值．
（Ⅱ）直線PQ就是拋物線C在點(diǎn)B（-1，1）處的切線．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：y=-$\frac{p}{2}$，根據(jù)拋物線定義
點(diǎn)（m，4）到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即4+$\frac{p}{2}$=$\frac{17}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$
所以拋物線方程為：x²=y，將A（m，4）代入拋物線方程，解得m=±2，
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)B（-1，1）在拋物線C上，所以B₁，B₂即為點(diǎn)B，
則過(guò)A₁，B₁的拋物線C的兩切線交于P在過(guò)B的拋物線C的切線上，
過(guò)A₂，B₂的拋物線C的兩切線交于Q同樣在過(guò)B的拋物線C的切線上，
故直線PQ就是拋物線C在點(diǎn)B（-1，1）處的切線，
因?yàn)閥=x²，
所以y′=2x，
則直線PQ的斜率k=-2，
故直線PQ的方程為y-1=-2（x+1），即為y=-2x-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用，具體涉及到拋物線和直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線方程等基本知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．