精英家教網(wǎng)如圖,多面體AEDBFC的直觀圖及三視圖如圖所示,M,N分別為AF,BC的中點.
(1)求證:MN∥平面CDEF;
(2)求多面體A-CDEF的體積;
(3)求證:CE⊥AF.
分析:(1)由多面體AEDBFC的三視圖知,側(cè)面ABFE,ABCD都是邊長為2的正方形,由三角形中位線的性質(zhì)得:MN∥EC,從而證得MN∥平面CDEF.
(2)先證四邊形CDEF是矩形,利用面面垂直的性質(zhì)證明并求出棱錐的高,代入體積公式計算棱錐的體積.
(3)由BC⊥平面ABEF,證明BC⊥AF,面ABFE是正方形,證得EB⊥AF,進而AF⊥面BCE,結(jié)論得證.
解答:精英家教網(wǎng)證明:(1):由多面體AEDBFC的三視圖知,
三棱柱AED-BFC中,底面DAE是等腰直
角三角形,DA=AE=2,DA⊥平面ABEF,
側(cè)面ABFE,ABCD都是邊長為2的正方形.
連接EB,則M是EB的中點,
在△EBC中,MN∥EC,
且EC?平面CDEF,MN?平面CDEF,
∴MN∥平面CDEF.
(2)因為DA⊥平面ABEF,EF?平面ABEF,∴EF⊥AD,
又EF⊥AE,所以,EF⊥平面ADE,
∴四邊形CDEF是矩形,
且側(cè)面CDEF⊥平面DAE
取DE的中點H,∵DA⊥AE,DA=AE=2,∴AH=
2
,
且AH⊥平面CDEF.
所以多面體A-CDEF的體積V=
1
3
SCDEF•AH=
1
3
DE•EF•AH=
8
3

(3)∵DA⊥平面ABEF,DA∥BC,
∴BC⊥平面ABEF,
∴BC⊥AF,
∵面ABFE是正方形,
∴EB⊥AF,
∴AF⊥面BCE,
∴CE⊥AF.
點評:本題考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì),利用三視圖求面積和體積.
練習冊系列答案
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