已知首項為的等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn,且S1+a1,S2+a2,S3+a3成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若,數(shù)列{bn}的前n項和Tn,求滿足不等式≥的最大n值.
(I)an=a1=()n;(Ⅱ)n的最大值為4.
解析試題分析:(I){an}是一等比數(shù)列,且a1=.設等比數(shù)列{an}的公比為q,由S1+a1,S2+a2,S3+a3成等差數(shù)列,可得一個含公比q的方程,解這個方程便得公比q,從而得數(shù)列{an}通項公式.
(Ⅱ)由題設及(I)可得:bn=anlog2an=-n?()n,由等差數(shù)列與等比數(shù)列的積或商構成的新數(shù)列,求和時用錯位相消法.用錯位相消法可求得,變形得≥,解這個不等式得n≤4,從而得 n的最大值.
試題解析:(I)設等比數(shù)列{an}的公比為q,由題知 a1=,
又∵ S1+a1,S2+a2,S3+a3成等差數(shù)列,
∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3,
變形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即得3a2=a1+2a3,
∴ q=+q2,解得q=1或q=, 4分
又由{an}為遞減數(shù)列,于是q=,
∴ an=a1=()n. 6分
(Ⅱ)由于bn=anlog2an=-n?()n,
∴ ,
于是,
兩式相減得:
∴ .
∴ ≥,解得n≤4,
∴ n的最大值為4. 12分
考點:1.等差數(shù)列;2.等比數(shù)列的通項公式;3. 錯位相消法求和;4.解不等式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
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在等差數(shù)列和等比數(shù)列中,,,是前項和.
(1)若,求實數(shù)的值;
(2)是否存在正整數(shù),使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中?若存在,求出所有的,若不存在,說明理由;
(3)是否存在正實數(shù),使得數(shù)列中至少有三項在數(shù)列中,但中的項不都在數(shù)列中?若存在,求出一個可能的的值,若不存在,請說明理由.
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設正數(shù)列的前項和為,且.
(1)求數(shù)列的首項;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)設,是數(shù)列的前項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù).
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設等差數(shù)列的前項和為,已知,.
(1)求;
(2)若從中抽取一個公比為的等比數(shù)列,其中,且,.
①當取最小值時,求的通項公式;
②若關于的不等式有解,試求的值.
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正項數(shù)列的前n項和為,且。
(Ⅰ)證明數(shù)列為等差數(shù)列并求其通項公式;
(2)設,數(shù)列的前n項和為,證明:。
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由函數(shù)確定數(shù)列,.若函數(shù)能確定數(shù)列,,則稱數(shù)列是數(shù)列的“反數(shù)列”.
(1)若函數(shù)確定數(shù)列的反數(shù)列為,求;
(2)對(1)中的,不等式對任意的正整數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設(為正整數(shù)),若數(shù)列的反數(shù)列為,與的公共項組成的數(shù)列為(公共項為正整數(shù)),求數(shù)列的前項和.
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(本小題滿分12分)已知直角的三邊長,滿足
(1)已知均為正整數(shù),且成等差數(shù)列,將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列,且,求滿足不等式的所有的值;
(2)已知成等比數(shù)列,若數(shù)列滿足,證明數(shù)列中的任意連續(xù)三項為邊長均可以構成直角三角形,且是正整數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知公差不為零的等差數(shù)列的前3項和,且、、成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式及前n項的和;
(2)設的前n項和,證明:;
(3)對(2)問中的,若對一切恒成立,求實數(shù)的最小值.
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