如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面PEC;
(2)設(shè)CD的中點(diǎn)為H,求證:平面EFH∥平面PBC;
(3)求AC與平面PCD所成的角的正弦值.
分析:(1)取PC中點(diǎn)M,連接FM,EM,根據(jù)線面平行的判定定理只需證明AF∥EM;
(2)根據(jù)面面平行的判定定理只需證明EH∥平面PBC,F(xiàn)H∥平面PBC,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明EH∥BC,F(xiàn)H∥PC即可;
(3)先證明AF⊥平面PCD,連接FC,則∠ACF即為AC與平面PCD所成的角,在RT△ACF中,可求∠ACF的正弦值.
解答:解:(1)取PC中點(diǎn)M,連接FM,EM,
∵F、M分別為PD、PC的中點(diǎn),∴FM∥DC,F(xiàn)M=
1
2
DC,
又E為AB的中點(diǎn),∴AE∥DC,AE=
1
2
DC,
∴AE∥FM,AE=FM,∴四邊形AFME為平行四邊形,
∴AF∥ME,又AF?平面PEC,ME?平面PEC,
∴AF∥平面PEC.
(2)∵H為CD的中點(diǎn),∴EH∥BC,又EH?平面PBC,BC?平面PBC,∴EH∥平面PBC.
∵F、H分別為PD、CD的中點(diǎn),∴FH∥PC,又FH?平面PBC,PC?平面PBC,∴FH∥平面PBC.
又FH∩EH=H,F(xiàn)H?平面EFH,EH?平面EFH,
∴平面EFH∥平面PBC.
(3)∵PA=AD=1,F(xiàn)為PD的中點(diǎn),∴AF⊥PD,
∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD,又CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,
AF?平面PAD,∴CD⊥AF,又PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD,
連接FC,則∠ACF即為AC與平面PCD所成的角.
在等腰RT△PAD中,AF=
2
2
,在矩形ABCD中,AC=
22+12
=
5
,
∴在RT△AFC中,sin∠ACF=
AF
AC
=
2
2
5
=
10
10

∴AC與平面PCD所成的角的正弦值為
10
10
點(diǎn)評:本題考查線面平行、面面平行的判定及線面角的求解,考查學(xué)生的推理論證能力,解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定義、定理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)若PD與平面ABCD所成角為60°,且AD=2,AB=4,求點(diǎn)A到平面PED的距離.

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如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA•AC=1,∠ABC=θ(0<θ<
π2
),則四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍是( 。

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(2012•貴州模擬)如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F(xiàn)是PD的中點(diǎn),E是線段AB上的點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí),求證:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)要使二面角P-EC-D的大小為45°,試確定E點(diǎn)的位置.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F(xiàn),G分別是PD,PC,BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面EFG⊥平面PAD;
(2)若M是線段CD上一點(diǎn),求三棱錐M-EFG的體積.

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