Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在實數(shù)，使得至少有一個，使成立，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（Ⅱ）或

【解析】試題分析：（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再通分，得到 根據(jù)解不等式，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）首先求存在性命題的否定，即有成立，將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè) ，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分 ，求得函數(shù)的最小值，令最小值大于等于0，求得的取值范圍，再求其補(bǔ)集.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，

1）當(dāng)時，由得， 或，由得，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

2）當(dāng)時， ， 的單調(diào)增區(qū)間為

（Ⅱ）先考慮“至少有一個，使成立”的否定“， 恒成立”。即可轉(zhuǎn)化為恒成立。

令，則只需在恒成立即可，

當(dāng)時，在時， ，在時，

的最小值為，由得，

故當(dāng)時， 恒成立，

當(dāng)時， ， 在不能恒成立，

當(dāng)時，取，有， 在不能恒成立，

綜上所述，即或時，至少有一個，使成立。