【題目】已知函數(shù)，.

（1）若不等式對(duì)恒成立，求的最小值；

（2）證明：.

（3）設(shè)方程的實(shí)根為.令若存在，，，使得，證明：.

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意可得，，令，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）不等式轉(zhuǎn)化為，令，，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性即可得到答案；

（3）由題意可得，進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性可得，記，，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，即，即，即可得到結(jié)論.

（1），即，化簡(jiǎn)可得.

令，，因?yàn)?/span>，所以，.

所以，在上單調(diào)遞減，.

所以的最小值為.

（2）要證，即.

兩邊同除以可得.

設(shè)，則.

在上，，所以在上單調(diào)遞減.

在上，，所以在上單調(diào)遞增，所以.

設(shè)，因?yàn)?/span>在上是減函數(shù)，所以.

所以，即.

（3）證明：方程在區(qū)間上的實(shí)根為，即，要證

，由可知，即要證.

當(dāng)時(shí)，，，因而在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，，因而在上單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>，所以，要證.

即要證.

記，.

因?yàn)?/span>，所以，則.

.

設(shè)，，當(dāng)時(shí)，.

時(shí)，，故.

且，故，因?yàn)?/span>，所以.

因此，即在上單調(diào)遞增.

所以，即.

故得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某醫(yī)院體檢中心為回饋大眾，推出優(yōu)惠活動(dòng)：對(duì)首次參加體檢的人員，按200元次收費(fèi)，并注冊(cè)成為會(huì)員，對(duì)會(huì)員的后續(xù)體檢給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下：

體檢次序

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次及以上

收費(fèi)比例

1

0.95

0.90

0.85

0.8

該體檢中心從所有會(huì)員中隨機(jī)選取了100位對(duì)他們?cè)诒局行膮⒓芋w檢的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下表：

體檢次數(shù)

一次

兩次

三次

四次

五次及以上

頻數(shù)

60

20

10

5

5

假設(shè)該體檢中心為顧客體檢一次的成本費(fèi)用為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：

（1）該體檢中心要從這100人里至少體檢3次的會(huì)員中，按體檢次數(shù)用分層抽樣的方法抽出8人，再?gòu)倪@8人中抽出2人發(fā)放紀(jì)念品，求抽出的2人中恰有1人體檢3次的概率；

（2）若以這100位會(huì)員體檢次數(shù)的頻率分布估計(jì)該體檢中心所有會(huì)員體檢次數(shù)的概率分布，已知該中心本周共接待了1000名顧客參加體檢，試估計(jì)該體檢中心本周所獲利潤(rùn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(1) 討論的單調(diào)性；

(2) 設(shè)，當(dāng)時(shí)， ，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且.

(1)證明:平面.

(2)過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知長(zhǎng)方形中，，，現(xiàn)將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線(xiàn)折起，使，得到一個(gè)四面體，如圖所示.

（1）試問(wèn)：在折疊的過(guò)程中，異面直線(xiàn)與能否垂直？若能垂直，求出相應(yīng)的的值；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)四面體體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）記表示中的最小值，設(shè)，若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）已知，，是的三個(gè)零點(diǎn)，且.當(dāng)時(shí)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，，，且平面平面.

（1）確定的位置（需要說(shuō)明理由），并證明：平面平面.

（2）與側(cè)面平行的平面與棱，，分別交于，，，求四面體的體積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐，，，，，，平面.

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值.

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