Question

（16分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．
（1）當時，求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；
①直接寫出的范圍（不必證明）；
②若對任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1） ；（2）。

本試題主要是考查了抽象函數(shù)的解析式的求解和單調(diào)性的證明以及解不等式。
（1）因為當時，，又因為為奇函數(shù)，所以，進而得到解析式。
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，對于參數(shù)a分為正負來討論得到取值范圍。
（3）因為，∴
所以是奇函數(shù)，∴，而又因為為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)的思想得到范圍。
（1）當時，，又因為為奇函數(shù)，
所以
所以                    …………………………6分
（2）①當時，對稱軸，所以在上單調(diào)遞減，
由于奇函數(shù)關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以在上單調(diào)遞減，
又在上，在上，
所以當a0時，為R上的單調(diào)遞減函數(shù)
當a>0時，在上遞增，在上遞減，不合題意
所以函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時，a的范圍為a………………………………………….10分
②因為，∴
所以是奇函數(shù)，∴           …………………………12分
又因為為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，…………………14分
所以恒成立， 所以 …………………………16分